Historia

El concepto de integral está asociado al concepto de área. Cuando una figura plana está acotada por líneas rectas es sencillo calcular su área. Sin embargo, áreas acotadas por curvas son más difíciles de calcular (incluso, de definir).
Uno de los momentos clave de la Historia de las Matemáticas fue cuando Arquímedes fue capaz de calcular el área de segmentos de una parábola usando el método de exahución de Eudoxo.

Cavalieri (alrededor de 1630) sabía como integrar funciones potencia (f(x)= x^n) desde n=1 hasta n=9. El resultado general, para n arbitrario, fue obtenido por Fermat.
Aunque Cavalieri no conocía el término 'función' podemos decir que una de sus contribuciones fue que él consideró el problema de calcular el área limitada por la gráfica de una función positiva, el eje X y dos rectas verticales (un 'trapezoide curvilíneo' o 'el área bajo una curva')




Si queremos integrar funciones lineales el problema es simple.
El problema es más difícil cuando la gráfica de la función no es una recta.
"Vamos a seguir una idea de Arquímedes. Es aproximar la función f por funciones horizontales (constantes), y el área bajo f por la suma de rectangulos pequeños." (Lang)
En estos casos queremos construir la integral definida (un número) como el resultado de algún tipo de proceso de límite. Podemos empezar dividiendo [a,b] en subintervalos y tomar la suma de las áreas de ciertos rectángulos que aproximan la función f en varios puntos del intervalo. El área de estos rectángulos aproxima la integral. La integración es un proceso de suma.


Usamos esta notación:

El símbolo S (una S alargada, por suma) se llama signo de integral y fue introducido por Leibniz en 1675. El proceso que produce el resultado se llama integración. Los números a y b, que se ponen junto al signo de integral, se llaman límite de integración inferior y superior.


Leibniz usó este símbolo porque consideraba la integral como la suma de infinitos rectángulos con altura f(x) y cuyas bases eran "infinítamente pequeñas". Fue aceptado rápidamente por muchos matemáticos porque les gustaba pensar que la integración era un tipo de "proceso de suma" que les permitía sumar infinitas cantidades "infinitesimales" (infinitamente pequeñas).