Si en cualquier figura
delimitada por rectas y por una curva; se inscriben y circunscriben
rectángulos en número arbitrario, y si la anchura de tales
rectángulos se va disminuyendo a la par que se aumenta su número hasta el
infinito, afirmo que las razones entre las figuras inscrita y
circunscrita y la figura curvilínea acabarán siendo razones de igualdad
Isaac Newton.
El área, es
un concepto familiar para todos nosotros, por el estudio de figuras
geométricas sencillas como el triángulo, el cuadrado, el círculo y el
rectángulo. La idea o el concepto que manejamos de área, es la magnitud
que mide de algún modo el tamaño de una región acotada, es decir,
cuanto mide una superficie. Ciertamente,
para hallar el área de las figuras geométricas sencillas que ya conocemos,disponemos de fórmulas matemáticas
que facilitan este cálculo.
Ahora, nuestro
problema consiste en encontrar un método, que nos permita calcular el área
de cualquier región, sin importar la forma que esta tenga. Para
lograr esto, es necesario primero introducir el símbolo o la notación de
Sumatoria. Para representar esto, se una la letra griega mayúscula ´sigmaµ, para abreviar
la sumatoria, y se usa de este modo:
Concepto de integral definida
La integral definida es un concepto utilizado para
determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el
intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una
función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida
de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está
limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de
ecuaciones x = a y x = b.
Propiedades de la integral definida
·La integral definida cumple las
siguientes propiedades:
Toda integral extendida a un intervalo
de un solo punto, [a, a], es igual a cero.
Cuando la función f (x) es mayor que
cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es
negativa.
La integral de una suma de funciones es
igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.
La integral del producto de una
constante por una función es igual a la constante por la integral de la función
(es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).
Al permutar los límites de una
integral, ésta cambia de signo.
Dados tres puntos tales que a < b
< c, entonces se cumple que (integración a trozos):
Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se
aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) £ g (x), se verifica que:
Uno de los primeros logros del cálculo, fue predecir la posición futura de un objeto, a partir de una ubicación conocida y la función que representa su velocidad. Además hemos podido, en muchas ocasiones encontrado una función a partir de valores conocidos y una fórmula para su razón de cambio. En nuestros días, calcular la rapidez que necesita un corchete en cierto punto para poder salir del campo gravitacional de la Tierra o predecir el tiempo de vida útil de un objeto a partir de su nivel de actividad y su razón de decrecimiento, son procesos rutinarios, gracias al cálculo, mediante el uso de las derivadas.
De aquí, podemos concluir que el problema de esta es, que si conocemos el recorrido de un punto móvil, podemos calcular su velocidad y adicional mente si tenemos una curva podemos hallar la pendiente de la recta tangente en cada uno de sus puntos.Encontrar una función f a partir de su derivada, involucra el hecho de encontrar toda una familia de funciones cuya derivada puede ser f;estas funciones reciben el nombre de antiderivadas, puesto que para encontrarlas es necesario llevar el proceso contrario al de la derivación